Os babilônios tinham um domínio notável da matemática. Crédito da imagem: Marinha dos EUA Os
Antigos agrimensores da Babilônia desenvolveram sua própria forma de trigonometria 1.000 anos antes dos gregos.
Daniel Mansfield - um professor sênior da Universidade de New South Wales - examina mais de perto o intrigante gênio matemático dos babilônios.
Nossa compreensão moderna de trigonometria remonta aos antigos astrônomos gregos que estudavam o movimento dos corpos celestes no céu noturno.
Mas em 2017, mostrei que os antigos babilônios provavelmente desenvolveram seu próprio tipo de "prototrigonometria" mais de 1.000 anos antes dos gregos. Então, por que os babilônios estavam interessados em triângulos retângulos? Para que eles os usaram?
Passei os últimos anos tentando descobrir. Minha pesquisa, publicada hoje na Foundations of Science, mostra que a resposta estava escondida à vista de todos.
Si.427
Muitos milhares de tábuas de argila foram recuperadas das cidades perdidas da antiga Babilônia, no atual Iraque. Esses documentos foram preservados sob o deserto por milênios. Uma vez descobertos, eles encontraram seu caminho para museus, bibliotecas e coleções particulares.
Um exemplo é o levantamento cadastral Si.427 com aproximadamente 3.700 anos, que representa o plano de um agrimensor para um campo. Foi escavado pelo padre Jean-Vincent Scheil durante uma expedição arqueológica francesa de 1894 em Sippar, a sudoeste de Bagdá. Mas seu significado não foi compreendido na época.
Acontece que o Si.427 - que está em Istambul Arkeoloji Muzeleri (Museus Arqueológicos de Istambul) há várias décadas e está atualmente em exibição - é de fato um dos exemplos mais antigos de geometria aplicada do mundo antigo. Vejamos o que o torna tão especial.
Uma breve história do levantamento da Babilônia
Os antigos babilônios valorizavam as terras, tanto quanto nós hoje. No início, grandes áreas de terras agrícolas pertenciam a instituições como templos ou palácios.
Topógrafos profissionais medem esses campos para estimar o tamanho da colheita. Mas eles não estabeleceram limites de campo. Parece que essas instituições poderosas não precisavam de um agrimensor, ou de qualquer outra pessoa, para lhes dizer o que possuíam.
A natureza da propriedade da terra mudou durante o período da Antiga Babilônia, entre 1900 e 1600 aC. Em vez de grandes campos institucionais, campos menores agora poderiam ser propriedade de pessoas comuns.
Essa mudança teve um impacto na forma como o solo foi medido. Ao contrário das instituições, os proprietários de terras privados precisavam de agrimensores para estabelecer limites e resolver disputas.
A necessidade de um levantamento preciso é aparente em um poema da Antiga Babilônia sobre estudantes brigões que estavam aprendendo a se tornar agrimensores. O aluno mais velho admoesta o aluno mais novo, dizendo:
Vá dividir um lote, e você não será capaz de dividir o lote; vá repartir um campo, e você não consegue nem segurar a fita e a haste corretamente. Os pinos de campo que você não consegue colocar; você não consegue descobrir sua forma, de modo que, quando os homens injustiçados brigam, você não é capaz de trazer a paz, mas permite que o irmão ataque o irmão. Entre os escribas, você (sozinho) é impróprio para o barro.
Este poema menciona a fita e a haste, que são referências às ferramentas padrão de topografia da Babilônia: a corda de medição e a haste unitária. Esses eram símbolos reverenciados de equidade e justiça na antiga Babilônia e frequentemente vistos nas mãos de deusas e reis.
Os agrimensores babilônios usariam essas ferramentas para dividir a terra em formas gerenciáveis: retângulos, triângulos retos e trapézios retos.
Antigos agrimensores da Babilônia desenvolveram sua própria forma de trigonometria 1.000 anos antes dos gregos.
Daniel Mansfield - um professor sênior da Universidade de New South Wales - examina mais de perto o intrigante gênio matemático dos babilônios.
Nossa compreensão moderna de trigonometria remonta aos antigos astrônomos gregos que estudavam o movimento dos corpos celestes no céu noturno.
Mas em 2017, mostrei que os antigos babilônios provavelmente desenvolveram seu próprio tipo de "prototrigonometria" mais de 1.000 anos antes dos gregos. Então, por que os babilônios estavam interessados em triângulos retângulos? Para que eles os usaram?
Passei os últimos anos tentando descobrir. Minha pesquisa, publicada hoje na Foundations of Science, mostra que a resposta estava escondida à vista de todos.
Si.427
Muitos milhares de tábuas de argila foram recuperadas das cidades perdidas da antiga Babilônia, no atual Iraque. Esses documentos foram preservados sob o deserto por milênios. Uma vez descobertos, eles encontraram seu caminho para museus, bibliotecas e coleções particulares.
Um exemplo é o levantamento cadastral Si.427 com aproximadamente 3.700 anos, que representa o plano de um agrimensor para um campo. Foi escavado pelo padre Jean-Vincent Scheil durante uma expedição arqueológica francesa de 1894 em Sippar, a sudoeste de Bagdá. Mas seu significado não foi compreendido na época.
Acontece que o Si.427 - que está em Istambul Arkeoloji Muzeleri (Museus Arqueológicos de Istambul) há várias décadas e está atualmente em exibição - é de fato um dos exemplos mais antigos de geometria aplicada do mundo antigo. Vejamos o que o torna tão especial.
Uma breve história do levantamento da Babilônia
Os antigos babilônios valorizavam as terras, tanto quanto nós hoje. No início, grandes áreas de terras agrícolas pertenciam a instituições como templos ou palácios.
Topógrafos profissionais medem esses campos para estimar o tamanho da colheita. Mas eles não estabeleceram limites de campo. Parece que essas instituições poderosas não precisavam de um agrimensor, ou de qualquer outra pessoa, para lhes dizer o que possuíam.
A natureza da propriedade da terra mudou durante o período da Antiga Babilônia, entre 1900 e 1600 aC. Em vez de grandes campos institucionais, campos menores agora poderiam ser propriedade de pessoas comuns.
Essa mudança teve um impacto na forma como o solo foi medido. Ao contrário das instituições, os proprietários de terras privados precisavam de agrimensores para estabelecer limites e resolver disputas.
A necessidade de um levantamento preciso é aparente em um poema da Antiga Babilônia sobre estudantes brigões que estavam aprendendo a se tornar agrimensores. O aluno mais velho admoesta o aluno mais novo, dizendo:
Vá dividir um lote, e você não será capaz de dividir o lote; vá repartir um campo, e você não consegue nem segurar a fita e a haste corretamente. Os pinos de campo que você não consegue colocar; você não consegue descobrir sua forma, de modo que, quando os homens injustiçados brigam, você não é capaz de trazer a paz, mas permite que o irmão ataque o irmão. Entre os escribas, você (sozinho) é impróprio para o barro.
Este poema menciona a fita e a haste, que são referências às ferramentas padrão de topografia da Babilônia: a corda de medição e a haste unitária. Esses eram símbolos reverenciados de equidade e justiça na antiga Babilônia e frequentemente vistos nas mãos de deusas e reis.
Os agrimensores babilônios usariam essas ferramentas para dividir a terra em formas gerenciáveis: retângulos, triângulos retos e trapézios retos.
Mais cedo, antes que os agrimensores precisassem estabelecer limites, eles simplesmente faziam estimativas agrícolas. Então, os ângulos de 90 graus eram boas aproximações, mas nunca eram totalmente corretos.
Ângulos retos feitos corretamente
O levantamento cadastral da Antiga Babilônia Si.427 mostra os limites de uma pequena parcela de terra adquirida de um indivíduo conhecido como Sin-bel-apli.
Existem algumas regiões pantanosas que devem ter sido importantes, pois são medidas com muito cuidado. Parece um dia normal de trabalho para um agrimensor da Babilônia, certo? Mas há algo muito distinto sobre o Si.427.
Em levantamentos anteriores, os ângulos de 90 graus são apenas aproximações, mas no Si.427 os cantos têm exatamente 90 graus. Como alguém poderia apenas com uma corda de medição e uma haste de unidade fazer ângulos retos tão precisos? Bem, fazendo um triplo pitagórico.
Um triplo pitagórico é um tipo especial de triângulo retângulo (ou retângulo) com medições simples que satisfazem o teorema de Pitágoras. Eles são fáceis de construir e têm ângulos retos teoricamente perfeitos.
Os triplos pitagóricos foram usados na Índia antiga para fazer altares retangulares de fogo, potencialmente já em 800 AC. Por meio de Si.427, agora sabemos que os antigos babilônios os usavam para fazer medições precisas de terras já em 1900 aC.
Si.427 contém não um, mas três triplos pitagóricos.
Anotações do berço para agrimensores
Si.427 também nos ajudou a entender outras tabuinhas da era da Antiga Babilônia.
Nem todos os triplos pitagóricos foram úteis aos agrimensores babilônios. O que torna um triplo pitagórico útil são seus lados. Especificamente, os lados devem ser "regulares", o que significa que podem ser aumentados ou reduzidos para qualquer comprimento. Os números regulares não têm fatores primos além de 2, 3 e 5.
Plimpton 322 é outra tabuinha babilônica antiga, com uma lista de triplas pitagóricas que se parecem com uma tabela trigonométrica moderna. As tabelas trigonométricas modernas listam as proporções dos lados (sen, cos e tan alguém?).
Mas, em vez dessas proporções, o Plimpton 322 nos diz quais lados de um triplo pitagórico são regulares e, portanto, úteis no levantamento. É fácil imaginar que foi feito por um matemático puro que queria saber por que alguns triplos pitagóricos eram utilizáveis e outros não.
Alternativamente, Plimpton 322 poderia ter sido feito para resolver algum problema prático específico. Embora nunca possamos saber as verdadeiras intenções do autor, provavelmente está em algum lugar entre essas duas possibilidades. O que sabemos é que os babilônios desenvolveram sua própria compreensão única das triplas pitagóricas.
Esta "proto-trigonometria" é equivalente à trigonometria desenvolvida pelos antigos astrônomos gregos. No entanto, é diferente porque foi desenvolvido em resposta aos problemas enfrentados pelos topógrafos da Babilônia olhando não para o céu noturno - mas para a terra.
[The Conversation]
Ângulos retos feitos corretamente
O levantamento cadastral da Antiga Babilônia Si.427 mostra os limites de uma pequena parcela de terra adquirida de um indivíduo conhecido como Sin-bel-apli.
Existem algumas regiões pantanosas que devem ter sido importantes, pois são medidas com muito cuidado. Parece um dia normal de trabalho para um agrimensor da Babilônia, certo? Mas há algo muito distinto sobre o Si.427.
Em levantamentos anteriores, os ângulos de 90 graus são apenas aproximações, mas no Si.427 os cantos têm exatamente 90 graus. Como alguém poderia apenas com uma corda de medição e uma haste de unidade fazer ângulos retos tão precisos? Bem, fazendo um triplo pitagórico.
Um triplo pitagórico é um tipo especial de triângulo retângulo (ou retângulo) com medições simples que satisfazem o teorema de Pitágoras. Eles são fáceis de construir e têm ângulos retos teoricamente perfeitos.
Os triplos pitagóricos foram usados na Índia antiga para fazer altares retangulares de fogo, potencialmente já em 800 AC. Por meio de Si.427, agora sabemos que os antigos babilônios os usavam para fazer medições precisas de terras já em 1900 aC.
Si.427 contém não um, mas três triplos pitagóricos.
Anotações do berço para agrimensores
Si.427 também nos ajudou a entender outras tabuinhas da era da Antiga Babilônia.
Nem todos os triplos pitagóricos foram úteis aos agrimensores babilônios. O que torna um triplo pitagórico útil são seus lados. Especificamente, os lados devem ser "regulares", o que significa que podem ser aumentados ou reduzidos para qualquer comprimento. Os números regulares não têm fatores primos além de 2, 3 e 5.
Plimpton 322 é outra tabuinha babilônica antiga, com uma lista de triplas pitagóricas que se parecem com uma tabela trigonométrica moderna. As tabelas trigonométricas modernas listam as proporções dos lados (sen, cos e tan alguém?).
Mas, em vez dessas proporções, o Plimpton 322 nos diz quais lados de um triplo pitagórico são regulares e, portanto, úteis no levantamento. É fácil imaginar que foi feito por um matemático puro que queria saber por que alguns triplos pitagóricos eram utilizáveis e outros não.
Alternativamente, Plimpton 322 poderia ter sido feito para resolver algum problema prático específico. Embora nunca possamos saber as verdadeiras intenções do autor, provavelmente está em algum lugar entre essas duas possibilidades. O que sabemos é que os babilônios desenvolveram sua própria compreensão única das triplas pitagóricas.
Esta "proto-trigonometria" é equivalente à trigonometria desenvolvida pelos antigos astrônomos gregos. No entanto, é diferente porque foi desenvolvido em resposta aos problemas enfrentados pelos topógrafos da Babilônia olhando não para o céu noturno - mas para a terra.
[The Conversation]